ЗАНЯТИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК И ЛИНИЙ,
ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ПОВЕРХНОСТЯМ
Для выполнения задания Вам
необходимо изучить следующие темы:
|
Моделирование
кривых линий и технических поверхностей |
|
|
|
Моделирование кривых линий |
|
|
Способы образования и задания
поверхностей |
|
|
Моделирование конических
поверхностей |
|
|
Моделирование цилиндрических
поверхностей |
|
|
Моделирование пирамидальных
поверхностей |
|
|
Моделирование призматических
поверхностей |
|
|
Моделирование поверхностей
вращения |
|
|
Моделирование
линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма |
|
|
Моделирование каркасных
поверхностей |
|
|
Моделирование конических
поверхностей |
|
Прежде чем приступить к изучению методов
моделирования поверхностей с помощью системы Симплекс, рассмотрим некоторые
приемы эффективного задания модели точки трехмерного пространства. Эти приемы
позволяют осуществлять интерактивное изменение положения точки, не нарушая при
этом свойств модели, обусловленных эпюром Монжа. Вкратце напомним некоторые из
них.
|
В исходном пространстве плоскости проекций взаимно перпендикулярны – p1^p2. Плоскость p1 обычно называется фронтальной плоскостью проекций, а p2 – горизонтальной плоскостью проекций. Проецирование на плоскости p1 и p2 из соответствующих центров S1¥ и S2¥ ортогональное. Направление на исключенные точки U1¥ и U2¥ перпендикулярно оси x12. Для перехода к одной плоскости картины p=p1 изображение, полученное на плоскости p2, дополнительно проецируется на плоскость p=p1 из несобственного центра S¥ по направлению, перпендикулярному к биссекторной плоскости g, проходящей через II и IV углы. Такое дополнительное проецирование равносильно повороту плоскости p2 вокруг оси x12 до совмещения с плоскостью p1. Все точки плоскости g моделируются тождественно совпавшими проекциями. Например, моделью точки В являются пара тождественно совпавших точек (В1, В2). Поэтому плоскость g называется тождественной плоскостью. В общем случае на плоскости картины p=p1 имеем два изображения точки. |
Рисунок 1 |
|
Модель точки А на эпюре Монжа представляет собой пару точек А1 и А2, расположенных на одной линии связи, перпендикулярной оси x12. При этом исключенная точка U бесконечно удалена в направлении, перпендикулярном оси x12. Если задано направление на несобственную исключенную точку U1¥=U2¥, то направление оси проекций известно и, наоборот, задание оси x12 определяет направление на несобственную точку U1¥=U2¥. Ось проекций x12 на эпюре Монжа принято изображать горизонтально. Она фиксирует положение плоскостей проекций. Однако в инженерной практике не всегда возникает необходимость в определении положения изображаемого объекта относительно неподвижной системы плоскостей проекций. При решении многих задач ось проекций на чертеже не показывается (по умолчанию она принимается горизонтальной в области чертежа). |
Рисунок 2 |
|
Начнем построение модели точки на эпюре Монжа с помощью системы
Симплекс с того, что зададим некоторую линию связи, на которой будут
располагаться проекции моделируемой точки. Полагая, что ось x12
располагается горизонтально, введем линию связи как вертикальную линию с
помощью функции |
|
|
|
Рисунок 3 |
|
Симплекс
построит отрезок вертикальной прямой. Для того чтобы преобразовать его в
бесконечную линию, выделим его курсором |
|
|
|
Рисунок 4 |
|
и присвоим атрибут «бесконечная линия с
инцидентными точками» |
|
|
|
Рисунок 5 |
|
Разместим в некотором месте этой прямой точку p1, моделирующую первую
проекцию пространственной точки, с помощью функции «Инцидентные точки» |
|
|
|
Рисунок 6 |
|
аналогично построим вторую проекцию точки – p2. |
|
|
|
Рисунок 7 |
|
Переведем систему в режим указания объектов, нажав
кнопку |
|
|
|
Рисунок 8 |
|
Такой
способ задания пространственной точки выгодно отличается от иных возможных
вариантов построения тем, что инструменты интерактивного воздействия на
построение, такие как «динамическое изменение положения точки» и
«динамическое изменение положения прямой», позволяют воздействовать на
модель, не нарушая ее геометрической сути. Поясним данную мысль на ряде
примеров. Допустим, необходимо изменить z-координату
пространственной точки. Это означает, что первая проекция этой точки должна
изменить свое положение на эпюре Монжа в вертикальном направлении. Однако ее
горизонтальное положение, а также положение второй проекции, измениться не
должны. Переместим точку p1 (модель первой проекции
пространственной точки) с помощью инструмента |
|
|
|
Рисунок 9 |
|
Теперь осуществим коррекцию положения прямой o1. Вызовем всплывающее меню
(в режиме динамического редактирования) и выберем пункт Коррекция
прямых.
«Зацепив» середину линии курсором |
|
|
|
Рисунок 10 |
, поместив курсор в произвольное место окна алгоритма.
, отбуксируем прямую 
Перейдем к рассмотрению вопросов
моделирования поверхностей в системе Симплекс. Будем вести рассуждения на
примерах моделирования сферической поверхности и решения задачи, связанной с построением
точки, принадлежащей поверхности сферы. Напомним, что модель сферы обычно
задается с помощью точки ее центра, а также линий – главного меридиана и
экватора.
|
Выполним
построение центра сферы. Поскольку центр сферы – точка, то его построение осуществим
так же, как было сделано в предыдущем примере. |
|
|
|
Рисунок 11 |
|
|
Рисунок 12 |
|
Теперь
приступим к построению очерка сферы – заданию экватора и главного меридиана.
Обе эти линии суть окружности. Причем радиус обеих окружностей обязательно
одинаков, поэтому при изменении радиуса одной из них, вторая должна получить
радиус первой. Выполним построение, которое позволит изменять радиус экватора
в зависимости от изменения радиуса главного меридиана. Через
p1 и p2 соответственно проведем горизонтальные
линии o2 и o3 (модель горизонтальной оси сферы). |
|
|
|
Рисунок 13 |
|
Проведем окружность d1 (главный меридиан) с
центром в p1. Воспользуемся функцией Окружность задана
центром и радиусом, причем радиус зададим числом. Это позволит в
дальнейшем динамически изменять радиус окружности. |
|
|
|
Рисунок 14 |
|
Для
установления соответствия радиусов экватора и главного меридиана выполним
следующие построения: |
|
|
|
Рисунок 15 |
|
|
Рисунок 16 |
|
|
Рисунок 17 |
|
Окружность d2 зависима от окружности d1 и согласованно изменяет
свой радиус при изменении радиуса окружности d1. Перейдем в режим
динамического редактирования окружностей, вызвав пункт всплывающего меню |
|
|
Рисунок 18 |
Рисунок 19 |
|
Для
того чтобы переместить сферу в иное место, можно, например, отбуксировать
линию связи o1 центра сферы в новое положение.
Геометрическая сущность модели сферы не нарушится, так как точки,
моделирующие цент сферы (p1, p2),
переместятся вместе с o1, а окружности d1 и d2 перестроятся в соответствии с новыми
положениями центра сферы. |
|
|
Рисунок 20 |
Рисунок 21 |
|
Изменение положения только одной проекции центра
сферы (например, p1) также не нарушает
корректность модели сферы. |
|
|
Рисунок 22 |
Рисунок 23 |
, «зацепим» линию окружности 
Таким образом, мы получили
возможность задавать репер поверхности сферы с помощью плоского проекционного чертежа.
Применим полученную геометрическую конструкцию для решения задач, связанных с
построением точек и линий на поверхности сферы.
Пример выполнения
задания:
Выполнить построение второй
проекции точки A,
принадлежащей поверхности сферы Ф: Ф1–Ф2, по известной
первой проекции A1.
|
|
|
|
Исходные данные
(находятся в файле задания) Центр
сферы - точки p1-p2. Главный
меридиан сферы – окружность d1. Экватор
сферы – окружность d2. Первая проекция точки, принадлежащей поверхности сферы – точка a1 (аналог A1) (расположена на линии связи o4). |
|
|
|
Рисунок 24 |
|
|
|
Решение
Через
точку a1 проводим линию o5, определяющую на сфере
параллель – окружность, принадлежащую поверхности сферы и параллельную
экватору. |
|
|
|
Рисунок 25 |
|
Для
того чтобы определить параллель во втором поле, найдем точку p6
пересечения o5 с главным меридианом d1 и спроецируем ее на
вторую проекцию главного меридиана – линию o3. Получим точку p8. |
|
|
|
Рисунок 26 |
|
|
Рисунок 27 |
|
Проведем
через p8 окружность d3 с центром в p2. Это и есть вторая
проекция параллели. |
|
|
|
Рисунок 28 |
|
Поскольку искомая точка A
принадлежит поверхности сферы, в том числе и проведенной параллели, то вторая
проекция должна принадлежать второй проекции параллели d3 и в то же время
находиться на линии связи с a1 (прямая o4). Следовательно, вторая
проекция точки A может быть найдена как точка пересечения линии o4 и окружности d3. Как видно из чертежа, мы
получаем здесь двузначное решение – точки p9 и p10, которые обе
удовлетворяют условию задачи. Таким образом, пара точек a1-p10 моделирует точку,
находящуюся на обращенной к нам поверхности сферы, а пара a1-p9 точку, находящуюся с
противоположной стороны сферы. |
|
|
|
Рисунок 29 |
|
Изменяя положение линии связи o4, а также первой проекции
точки, принадлежащей поверхности сферы a1, мы можем наблюдать за
изменением положения вторых проекций – точек p9 и p10. |
|
|
|
Рисунок 30 |
|
Технология
получения недостающей проекции линии на поверхности сферы по одной имеющейся
состоит в расположении на известной проекции этой линии множества точек,
нахождения соответственных вторых проекций этих точек и последовательном
соединении полученных точек в непрерывную линию. |
|
|
|
Рисунок 31 а, б. |
Задания:
1. Повторить пример построения точки
на поверхности сферы, рассмотренный в данном методическом указании.
2. Самостоятельно решить задачи на
построение недостающих проекций точек и линий, принадлежащих следующим типам
поверхностей:
а) конической,
б) цилиндрической,
в) торовой.
Указания:
1. варианты заданий содержат
исходные данные – реперы поверхностей и известные проекции точек и линий,
принадлежащих заданным поверхностям;
2. в вариантах заданий первая
проекция реперов плоскости и первые проекции известных точек и линий обозначены
красным цветом; вторые проекции изображены синим цветом;
3. для построения линий, аппроксимирующих кривые, использовать методы согласования параметров, изученные при выполнении заданий №2 и №3.